Expansión Binomial

Una expansión binómica es un método que nos permite expandir y simplificar expresiones algebraicas de la forma \( (x+y)^n\) en una suma de términos de la forma \(ax^by^c\). Si \(n\) es un entero, \(b\) y \(c\) también serán enteros, y \(b + c = n\).

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    Podemos expandir expresiones de la forma \( (x+y)^\n) multiplicando cada paréntesis, pero esto puede ser muy largo y tedioso para valores altos de \(n\), como en \( (x+y)^{20}\), por ejemplo. Aquí es donde resulta útil utilizar el Teorema Binomial.

    El teorema binomial

    El teorema binomial nos permite expandir una expresión de la forma \ ( (x+y)^n\) en una suma. Una fórmula general para una expresión binómica es

    \[ (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ puntos + \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^n.\]

    Que puede simplificarse a

    \(x+y)^n &= suma de límites_k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k &= suma de límites_k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} . \end{align}\]

    Donde tanto \(n\) como \(k\) son números enteros. También se conoce como fórmula binómica. La notación

    \[ \binom{n}{k}\}]

    se puede denominar "\(n\) elige \(k\)" y da un número llamado coeficiente binomial, que es el número de combinaciones distintas de ordenar \(k\) objetos de un total de \(n\) objetos. La ecuación del coeficiente binomial (\(n\) elige \(k\) o \(^nC_r\) en una calculadora) viene dada por

    \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\}].

    Donde "!" significa factorial. Factorial significa el producto de un entero por todos los enteros inferiores a él. Por ejemplo, para \(5\) elegir \(3\), tendríamos:

    \[ \begin{align} \binom{5}{3} &= \frac{5!}{3!(5-3)!} \\ &= \frac{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}(3\cdot 2\cdot 1)(2\cdot 1)} &= 10. \fin]]

    ¿Cómo se hace una expansión binómica?

    Para entender cómo hacer una expansión binómica, veremos un ejemplo. Supongamos que queremos expandir \( (x+y)^4\). En este caso, \(n = 4\) y \(k\) variarán entre \(0\) y \(4\). Utilizando la fórmula de la expansión binómica, podemos escribir:

    \[ (x+y)^4 = \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}x^1y^3+ \binom{4}{4}x^0y^4.\]

    Ahora podemos utilizar la ecuación del coeficiente binomial para hallar todos los términos constantes de esta expresión. Para el primer término tenemos

    \[ \begin{align} \binom{4}{0} &= \frac{4!}{0!(4-0)!} \\ ¾ &= ¾frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 )} ¾ &= 1. \fin \]

    Repitiendo esto para los cinco coeficientes, acabamos con coeficientes binomiales de \(1\), \(4\), \(6\), \(4\), \(1\) en orden. Por tanto, nuestra expresión para la expansión binómica se simplifica a

    \[ x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\]

    Observa que \(y\) también podría sustituirse por cualquier número.

    Fórmula de la expansión binómica

    Para resumir la explicación anterior, la fórmula de expansión puede escribirse como

    \[(x+y)^n = \suma _{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k = \suma _{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}\]

    Donde \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial de cada término.

    Expansión binómica para potencias fraccionarias y negativas

    A veces te encontrarás con expresiones algebraicas en las que n no es un entero positivo, sino un entero negativo o una fracción. Consideremos la expresión \(\sqrt{1-2x}\) que también puede escribirse como

    \[ (1- 2x)^\dfrac{1}{2}\] donde \(x < 0,5\). En este caso, resulta difícil encontrar la fórmula para hallar los coeficientes binomiales,

    porque no podemos encontrar los factoriales para un número negativo o racional. Sin embargo, si miramos un ejemplo para un número entero positivo, podemos encontrar una expresión más general que luego podemos aplicar también a los números negativos y fraccionarios. Por ejemplo, para

    \[ \binom{6}{3}\]

    tenemos

    \[ \begin{align} \binom{6}{3}&= \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!} \\ y= ¡frac{6(6-1)(6-2)}{3!}. \fin].

    A partir de aquí observamos que

    \[ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\dots (n-k+1)}{k!}].

    y, por tanto, la expresión más general del teorema del binomio es la fórmula infinita

    \[ (a+b)^n = \frac{a^n}{0!} + \frac{na^{n-1}b}{1!} + \frac{n(n-1)a^{n-2}b^2} ¡2!} + \frac{n(n-1)(n-2)a^{n-3}b^3}{3!} + \ puntos \]

    Veamos \(\sqrt{1-2x}\). En este caso \(a = -2x\), \(b = 1\) y \(n =1/2\). Sustituyendo esto obtenemos

    \[ \begin{align} \(-2x)^-\frac{1}{2}{0!} &+ \frac {Izquierda(-\frac{1}{2}}derecha) (-2x)^-\frac{1}{2}{cdot 1 }{1!} \\ (-2x)^-\frac {3}{2}{dot 1^2} ¡2! \\ &\quad + \frac(-\frac{1}{2}}derecha) \frac(-\frac{1}{2}}derecha) \frac(-\frac{3}{2}}derecha) (-2x)^{-\frac{5}{2} {\cdot 1^3 }{3!} + puntos fin].

    Utilizando la expansión de Mac Laurin podemos decir que la expresión anterior converge a

    \[ \sqrt{1-2x} = 1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2}.\]

    Preguntas sobre la expansión binómica

    Hemos recopilado algunas preguntas con soluciones paso a paso para ayudarte a comprender cómo se puede aplicar el teorema del binomio y la expansión binómica o preguntar sobre ellos en un examen.

    Ejercicio 1

    Expande \((x + 2)^4\) utilizando el teorema del binomio.

    Solución:

    Utilizando el teorema binomial, tenemos:

    \((x + 2)^4 = \binom{4}{0}x^4(2)^0 + \binom{4}{1}x^3(2)^1 + \binom{4}{2}x^2(2)^2 + \binom{4}{3}x(2)^3 + \binom{4}{4}(2)^4\)

    Evaluando los coeficientes, obtenemos

    \((x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\)

    Por tanto, \((x + 2)^4\) se expande a \(x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).

    Ejercicio 2

    Halla el coeficiente de \(x^3\) en la expansión de \((2x + 1)^5\).

    Solución:

    Utilizando el teorema del binomio, la expansión de \((2x + 1)^5\) es

    \((2x + 1)^5 = \binom{5}{0}(2x)^0(1)^5 + \binom{5}{1}(2x)^1(1)^4 + \binom{5}{2}(2x)^2(1)^3 + \binom{5}{3}(2x)^3(1)^2 + \binom{5}{4}(2x)^4(1)^1 + \binom{5}{5}(2x)^5(1)^0\)

    Para hallar el coeficiente de \(x^3\), tenemos que mirar el término con \((2x)^3\):

    \(\binom{5}{3}(2x)^3(1)^2 = 10(2x)^3\)

    Evaluando el término, obtenemos

    \(10(2x)^3 = 80x^3\)

    Por tanto, el coeficiente de \(x^3\) en la expansión de \((2x + 1)^5\) es 80.

    Ejercicio 3

    Halla los tres primeros términos de la expansión de \((1 - 3x)^6\).

    Solución:

    Utilizando el teorema del binomio, la expansión de \((1 - 3x)^6\) es

    \((1 - 3x)^6 = \binom{6}{0}(1)^6(-3x)^0 + \binom{6}{1}(1)^5(-3x)^1 + \binom{6}{2}(1)^4(-3x)^2 + ...\)

    Para hallar los tres primeros términos, tenemos que evaluar los términos con \((1)^6, (1)^5, \text{y} \espacio (1)^4):

    \(binomio {6}{0}(1)^6(-3x)^0 = 1)

    \(binomio {6}{1}(1)^5(-3x)^1 = -18x)

    \(\binom{6}{2}(1)^4(-3x)^2 = 162x^2\)

    Por tanto, los tres primeros términos de la expansión de \((1 - 3x)^6\) son \(1, -18x, \text{y} 162x^2).

    Expansión binómica - Puntos clave

    • La expansión binómica nos ayuda a simplificar expresiones algebraicas en una suma
    • La fórmula de la expansión binómica es

      \[ (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ puntos + \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^n].

    • Los coeficientes binomiales o términos constantes de esta expresión se hallan utilizando:\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
    • \[ (1+a)^n = 1 + na+ \frac{n(n-1)}{2!}a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^3 + \dots \].

    Preguntas frecuentes sobre Expansión Binomial
    ¿Cuál es la fórmula del binomio de Newton?
    La fórmula del binomio de Newton es (a + b)^n = Σ[k=0 a n] C(n, k) * a^(n-k) * b^k.
    ¿Para qué sirve la expansión binomial?
    La expansión binomial se utiliza para encontrar rápidamente los términos de una potencia de binomios sin multiplicar repetidamente.
    ¿Qué es la expansión binomial?
    La expansión binomial consiste en expresar una potencia de un binomio como una suma de términos individuales.
    ¿Qué es un coeficiente binomial?
    Un coeficiente binomial, representado como C(n, k), indica cuántas formas diferentes se pueden elegir k elementos de un conjunto de n elementos.

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