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Podemos expandir expresiones de la forma \( (x+y)^\n) multiplicando cada paréntesis, pero esto puede ser muy largo y tedioso para valores altos de \(n\), como en \( (x+y)^{20}\), por ejemplo. Aquí es donde resulta útil utilizar el Teorema Binomial.
El teorema binomial
El teorema binomial nos permite expandir una expresión de la forma \ ( (x+y)^n\) en una suma. Una fórmula general para una expresión binómica es
\[ (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ puntos + \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^n.\]
Que puede simplificarse a
\(x+y)^n &= suma de límites_k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k &= suma de límites_k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} . \end{align}\]
Donde tanto \(n\) como \(k\) son números enteros. También se conoce como fórmula binómica. La notación
\[ \binom{n}{k}\}]
se puede denominar "\(n\) elige \(k\)" y da un número llamado coeficiente binomial, que es el número de combinaciones distintas de ordenar \(k\) objetos de un total de \(n\) objetos. La ecuación del coeficiente binomial (\(n\) elige \(k\) o \(^nC_r\) en una calculadora) viene dada por
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\}].
Donde "!" significa factorial. Factorial significa el producto de un entero por todos los enteros inferiores a él. Por ejemplo, para \(5\) elegir \(3\), tendríamos:
\[ \begin{align} \binom{5}{3} &= \frac{5!}{3!(5-3)!} \\ &= \frac{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}(3\cdot 2\cdot 1)(2\cdot 1)} &= 10. \fin]]
¿Cómo se hace una expansión binómica?
Para entender cómo hacer una expansión binómica, veremos un ejemplo. Supongamos que queremos expandir \( (x+y)^4\). En este caso, \(n = 4\) y \(k\) variarán entre \(0\) y \(4\). Utilizando la fórmula de la expansión binómica, podemos escribir:
\[ (x+y)^4 = \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}x^1y^3+ \binom{4}{4}x^0y^4.\]
Ahora podemos utilizar la ecuación del coeficiente binomial para hallar todos los términos constantes de esta expresión. Para el primer término tenemos
\[ \begin{align} \binom{4}{0} &= \frac{4!}{0!(4-0)!} \\ ¾ &= ¾frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 )} ¾ &= 1. \fin \]
Repitiendo esto para los cinco coeficientes, acabamos con coeficientes binomiales de \(1\), \(4\), \(6\), \(4\), \(1\) en orden. Por tanto, nuestra expresión para la expansión binómica se simplifica a
\[ x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\]
Observa que \(y\) también podría sustituirse por cualquier número.
Fórmula de la expansión binómica
Para resumir la explicación anterior, la fórmula de expansión puede escribirse como
\[(x+y)^n = \suma _{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k = \suma _{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}\]
Donde \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial de cada término.
Expansión binómica para potencias fraccionarias y negativas
A veces te encontrarás con expresiones algebraicas en las que n no es un entero positivo, sino un entero negativo o una fracción. Consideremos la expresión \(\sqrt{1-2x}\) que también puede escribirse como
\[ (1- 2x)^\dfrac{1}{2}\] donde \(x < 0,5\). En este caso, resulta difícil encontrar la fórmula para hallar los coeficientes binomiales,
porque no podemos encontrar los factoriales para un número negativo o racional. Sin embargo, si miramos un ejemplo para un número entero positivo, podemos encontrar una expresión más general que luego podemos aplicar también a los números negativos y fraccionarios. Por ejemplo, para
\[ \binom{6}{3}\]
tenemos
\[ \begin{align} \binom{6}{3}&= \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!} \\ y= ¡frac{6(6-1)(6-2)}{3!}. \fin].
A partir de aquí observamos que
\[ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\dots (n-k+1)}{k!}].
y, por tanto, la expresión más general del teorema del binomio es la fórmula infinita
\[ (a+b)^n = \frac{a^n}{0!} + \frac{na^{n-1}b}{1!} + \frac{n(n-1)a^{n-2}b^2} ¡2!} + \frac{n(n-1)(n-2)a^{n-3}b^3}{3!} + \ puntos \]
Veamos \(\sqrt{1-2x}\). En este caso \(a = -2x\), \(b = 1\) y \(n =1/2\). Sustituyendo esto obtenemos
\[ \begin{align} \(-2x)^-\frac{1}{2}{0!} &+ \frac {Izquierda(-\frac{1}{2}}derecha) (-2x)^-\frac{1}{2}{cdot 1 }{1!} \\ (-2x)^-\frac {3}{2}{dot 1^2} ¡2! \\ &\quad + \frac(-\frac{1}{2}}derecha) \frac(-\frac{1}{2}}derecha) \frac(-\frac{3}{2}}derecha) (-2x)^{-\frac{5}{2} {\cdot 1^3 }{3!} + puntos fin].
Utilizando la expansión de Mac Laurin podemos decir que la expresión anterior converge a
\[ \sqrt{1-2x} = 1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2}.\]
Preguntas sobre la expansión binómica
Hemos recopilado algunas preguntas con soluciones paso a paso para ayudarte a comprender cómo se puede aplicar el teorema del binomio y la expansión binómica o preguntar sobre ellos en un examen.
Ejercicio 1
Expande \((x + 2)^4\) utilizando el teorema del binomio.
Solución:
Utilizando el teorema binomial, tenemos:
\((x + 2)^4 = \binom{4}{0}x^4(2)^0 + \binom{4}{1}x^3(2)^1 + \binom{4}{2}x^2(2)^2 + \binom{4}{3}x(2)^3 + \binom{4}{4}(2)^4\)
Evaluando los coeficientes, obtenemos
\((x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\)
Por tanto, \((x + 2)^4\) se expande a \(x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).
Ejercicio 2
Halla el coeficiente de \(x^3\) en la expansión de \((2x + 1)^5\).
Solución:
Utilizando el teorema del binomio, la expansión de \((2x + 1)^5\) es
\((2x + 1)^5 = \binom{5}{0}(2x)^0(1)^5 + \binom{5}{1}(2x)^1(1)^4 + \binom{5}{2}(2x)^2(1)^3 + \binom{5}{3}(2x)^3(1)^2 + \binom{5}{4}(2x)^4(1)^1 + \binom{5}{5}(2x)^5(1)^0\)
Para hallar el coeficiente de \(x^3\), tenemos que mirar el término con \((2x)^3\):
\(\binom{5}{3}(2x)^3(1)^2 = 10(2x)^3\)
Evaluando el término, obtenemos
\(10(2x)^3 = 80x^3\)
Por tanto, el coeficiente de \(x^3\) en la expansión de \((2x + 1)^5\) es 80.
Ejercicio 3
Halla los tres primeros términos de la expansión de \((1 - 3x)^6\).
Solución:
Utilizando el teorema del binomio, la expansión de \((1 - 3x)^6\) es
\((1 - 3x)^6 = \binom{6}{0}(1)^6(-3x)^0 + \binom{6}{1}(1)^5(-3x)^1 + \binom{6}{2}(1)^4(-3x)^2 + ...\)
Para hallar los tres primeros términos, tenemos que evaluar los términos con \((1)^6, (1)^5, \text{y} \espacio (1)^4):
\(binomio {6}{0}(1)^6(-3x)^0 = 1)
\(binomio {6}{1}(1)^5(-3x)^1 = -18x)
\(\binom{6}{2}(1)^4(-3x)^2 = 162x^2\)
Por tanto, los tres primeros términos de la expansión de \((1 - 3x)^6\) son \(1, -18x, \text{y} 162x^2).
Expansión binómica - Puntos clave
- La expansión binómica nos ayuda a simplificar expresiones algebraicas en una suma
La fórmula de la expansión binómica es
\[ (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ puntos + \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^n].
- Los coeficientes binomiales o términos constantes de esta expresión se hallan utilizando:\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Para resolver una expansión binómica con exponentes negativos o fraccionarios, utilizamos
\[ (1+a)^n = 1 + na+ \frac{n(n-1)}{2!}a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^3 + \dots \].
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